Компьютерные книги
Главное меню
Главная Поиск по сайту Добавить материал О нас Карта книг Карта сайта
Реклама
computersbooks.net -> Добавить материал -> Графика -> Гонсалес Р. -> "Цифровая обработка изображений" -> 180

Цифровая обработка изображений - Гонсалес Р.

Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений — М.: Техносфера, 2005. — 1072 c.
ISBN 5-94836-028-8
Скачать (прямая ссылка): cifrovayaobrabotkaizobrajeniy2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 185 186 .. 349 >> Следующая

cj0 (k) = ( /(х), ФУо Л (х)) = |/(х)фУо д (х) dx (7.3-2)
dj(k) = (f(x),\\tJk(x)} = jf(x)yJk(x)dx. (7.3-3)
30 Автор ограничивается рассмотрением случая вещественных функций разложения. — Прим. перев.
7.3. Одномерные вейвлет-преобразования 549
Если функции разложения являются частью биортогонального базиса, то ф - и у - функции в соответствующих членах этих выражений должны быть заменены на двойственные Ф-и V - функции.
Пример 7.7. Разложение функции у = х2 в вейвлет-ряд по системе Хаара.
¦ Рассмотрим простую функцию
у = \х} 0<х<1;
[О в остальных случаях,
график которой представлен на Рис. 7.13 (а). Используя (7.3-2) и (7.3-3), мы можем получить для коэффициентов разложения этой функции по вейвлетам Хаара с начальным масштабом j'q = 0 (см. (7.2-14) и (7.2-30)) следующие значения:
с0 (0) = |х2ф0 о (х) dx=Jx 2dx = о о
0,5
(1q(0) = Jх2\|/о,о(-*)dx= j x2dx- j x2dx=----------;
0,5
1 0,25 0,5 iz
J)(0) = Jx2yjQ(x)dx= J x2yf2dx- J x2\[2dx=---------------------;
0 0 0,25 32
Зл/2 32 '
0,75
^(1) = Jx2\j/j\(x)dx= J x2\f2dx- J х2\І2(Ьc=-
0,5
0,75
Подставляя полученные значения в (7.3-1), мы получаем начальную часть разложения в вейвлет-ряд
¦V=^<Po,o(*)+
л/2 Зл/2 , '
—^-Vi,oW--^Vi,iW
550 Глава 7. Вейвлеты и кратномасштабная обработка
3/16
1/16
а б -1/16
в г -3/16
д е
Wi
г —3>/2/32 vj/t> і — %/2/32 v/і,о \
О
0.25 0.5
0.75
37/48
Г
Рис. 7.13. Разложение функции у = х2 в вейвлет-ряд по системе вейвлетов Хаара.
В первом члене этого ряда коэффициент q,(0) используется для фор-мирования приближения подлежащей разложению функции в подпространстве V0. Это приближение показано на Рис. 7.13 (б) и представляет собой среднее значение исходной функции. Во втором члене коэффициент J0(0) используется для уточнения этого приближения с помощью добавления деталей из подпространства Wq. Добавляемые детали и результирующее приближение в пространстве V\ представлены на Рис. 7.13 (в) и (г), соответственно. Для добавления деталей из подпространства Wx на следующем уровне используются коэффициенты ^і(О) и J|(l ). Эти дополнительные детали представлены на Рис. 7.13 (д), а на Рис. 7.13 (е) представлено результирующее приближение в пространстве V2. Заметим, что последнее приближение начинает напоминать исходную функцию. По мере того как масштаб увеличивается (добавляются детали все более высокого уровня), при-
7.3. Одномерные вейвлет-преобразования 551
ближение становится все более точным и совпадает с исходной функцией В Пределе j —> оо. ¦
7.3.2. Дискретное вейвлет-преобразование
Подобно разложению в ряд Фурье, рассмотренное в предыдущем параграфе разложение в вейвлет-ряд ставит в соответствие функции непрерывного аргумента некоторую последовательность коэффициентов. В том случае, когда подлежащая разложению функция является последовательностью чисел, таких как отсчеты непрерывной функ-цииДх), получаемая последовательность коэффициентов называется дискретным вейвлет-преобразованием (ДВП) функции/(х). В этом случае определяемое формулами (7.3-1)— (7.3-3) разложение в ряд превращается в пару ДВП преобразований
И'фС/о >*) = ^=Х/(х)Ф/0 Ж(х) ’
»у(М) = ^у=Х/(*)У j,k (*).
приу >70, и
/(х) = -7=1^р(-/0^)фу0^(х)+-^7 ? I^.%м(х)- (7-3‘7)
к ^ М /=/о к
В этих формулах функцииДх), Ф/( ї ?(х) и \|/у^(х) суть функции дискретной переменной х = О, 1, 2,..., М— 1. Например,/(х) =У{х0 +хДх) для некоторых значенийх0, Ах, их = 0, 1,2, ...,М- 1. Обычно полагают Уо = 0 и выбирают число М так, чтобы оно было степенью двойки (т.е. М = 2J); при этом суммирование производится по значениям х = О, 1, 2,..., М- 1,у = 0, 1, 2,..., J - 1, и к= 0, 1, 2,..., 2J - 1. Для системы Хаара дискретные аналоги масштабирующих функций и вейвлет-функций (т.е. базисных функций), участвующих в преобразовании, соответствуют строкам МхМ матрицы преобразования Хаара из Раздела 7.1.3. Само преобразование состоит из Мкоэффициентов, минимальный масштаб равен нулю, а максимальный равен J- 1. По причинам, указанным в Разделе 7.3.1 и проиллюстрированным на Примере 7.6, определяемые формулами (7.3-5) и (7.3-6) коэффициенты обычно называются коэффициентами приближения и коэффициентами деталей.
(7.3-5)
(7.3-6)
Глава 7. Вейвлеты и кратномасштабная обработка
Коэффициенты Wy(jQ,k) и W^{j,k) в формулах (7.3-5)— (7.3-6) соответствуют коэффициентам разложения с^(к) и dj(k) функцииДл) в вейвлет-ряд, которое было рассмотрено в предыдущем параграфе. (Такая смена обозначений не является обязательной, но приводит к стандартной системе записи, используемой при рассмотрении интегрального вейвлет-преобразования, которое еше предстоит нам в следующем параграфе.) Заметим, что интегрирование, используемое при разложении в вейвлет-ряд, заменилось суммированием, и нормировочный множитель 1/л/м , напоминающий аналогичный множитель ДПФ в Разделе 4.2.1, добавился в выражения как для прямого, так и обратного преобразования. Этот множитель может быть также отнесен в прямое или обратное преобразование целиком (как l/М). В заключение необходимо напомнить, что формулы (7.3-5)— (7.3-7) справедливы только для ортонормированных базисов и жестких фреймов. Для биортогональ-ных базисов функции (р и \|/ в формулах (7.3-5) и (7.3-6) должны быть заменены на двойственные функции ф и \j>, соответственно.
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 185 186 .. 349 >> Следующая
Книги
Web-программирован-
ие
Аппаратное обеспечение Графика Руководство по П.О. Самоучитель Теория программирования Фотошоп Языки программирования
Новые книги
Вирт Н. "Систематическое программирование " (Теория программирования)

Эком "Microsoft Excel 2000 шаг за шагом Русская версия самоучитель " (Самоучитель)

Поляков А.Ю. "Методы и алгоритмы компьютерной графики в примерах Vizual C++" (Графика)

Баяковский Ю.М. "Графическая библиотека Open GL " (Графика)

Валиков А. "Технология " (Языки программирования)
Авторские права © 2013 ComputersBooks. Все права защищены.