Компьютерные книги
Главное меню
Главная Поиск по сайту Добавить материал О нас Карта книг Карта сайта
Реклама
computersbooks.net -> Добавить материал -> Графика -> Гонсалес Р. -> "Цифровая обработка изображений" -> 177

Цифровая обработка изображений - Гонсалес Р.

Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений — М.: Техносфера, 2005. — 1072 c.
ISBN 5-94836-028-8
Скачать (прямая ссылка): cifrovayaobrabotkaizobrajeniy2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 349 >> Следующая

На Рис. 7.9 (д) представлена функция из подпространства V\. Эта функция не принадлежит подпространству У0, поскольку функции разложения для подпространства V0 (см. Рис. 7.9 (а) и (б)) слишком грубы для представления данной функции с их помощью. Для этого необходимо использовать функции разложения более крупного масштаба (высокого разрешения), такие как функции, представленные на Рис. 7.9 (в) и (г). Как показано на Рис. 7.9 (д), использование последних позволяет получить представление интересующей функции в виде разложения, состоящего из трех слагаемых:
У j- 8рап{ф jk (х)}.
к
(7.2-13)
1 0<х<1;
0 в остальных случаях
(7.2-14)
24 Ниже эту систему функций автор часто называет масштабирующими функциями у'-го масштаба (или подпространства Vj), что не должно вызывать недоразумений. — Прим. перев.
7.2. Кратномасштабное разложение 539
Фо, о(*)=фМ
Фо, i(x)=cp(x-l)
О
1 1 1 1
0 1

I X 1
0 12 3
Фі,о(л)=л/2ф(2х)
Ах) є Vі
О
фо, oW є V\
1 1 ^Фі, 1

-0.25ф|,4
\
\ /
1 0.5ф 1.0
0 12 3'
Фі, і(х)=л/2ф(2х-1)
0 12 3
Рис. 7.9. Масштабирующие функции системы Хаара в подпространствах У0иУу.
Дх) = 0,5ф10 (х) + ф!, (х) - 0,25ф, 4( х).
Завершая обсуждение примера, заметим, что на Рис. 7.9 (е) представлено разложение функции Фо.оМ по функциям разложения подпространства V\. Аналогично можно поступить с любой функцией разложения подпространства Vq, если воспользоваться формулой
Ф°Д = ^Фі,2А:(*) + ^Фі,2А:+1 (*) ¦
а б в г
Д е
Таким образом, если функцияf(x) является элементом подпространства Vq, то она является также и элементом подпространства V\. Причина этого в том, что все функции разложения подпространства Vq яв-
540 Глава 7. Вейвлеты и кратномасштабная обработка
ляются элементами подпространства V\. На математическом языке указанный факт означает, что подпространство Vq вложено в подпространство V\ (эквивалентные формулировки: Vq само является подпространством V\, V\ содержит (включает) Vq) и записывается в виде Г0сК,.И
Простая масштабирующая функция из приведенного примера удовлетворяет четырем основным условиям кратномасштабного анализа [Mallat, 1989а].
К МЛ Условие 1. Масштабирующая функция и ее целые сдвиги ортогональны.
В случае функции Хаара это условие очевидно выполнено. Действительно, во всех точках, где значение функции Хаара равно единице, значение любой функции, полученной из нее сдвигом на целую величину, равно нулю. Поэтому равно нулю и их скалярное произведение. Говорят, что масштабирующая функция Хаара есть функция с компактным носителем. Это означает, что функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, являющегося носителем25. Размер носителя функции Хаара равен единице; функция обращается в нуль вне полуоткрытого интервала [0,1). Следует отметить, что добиться выполнения рассматриваемого условия ортогональности труднее в случае, когда размер носителя масштабирующей функции становится больше единицы.
КМА Условие 2. Подпространства, натянутые на систему масштабирующих функций при низком разрешении (в мелком масштабе), содержатся в подпространствах, натянутых на систему масштабирующих функции при более высоком разрешении (в более крупном масштабе).
Подпространства, содержащие функции высокого разрешения, с необходимостью содержат также все функции более низкого разрешения, как показано на Рис. 7.10. Таким образом,
F_c-cF_2 <=^-1 <=*о cFi cV2 C-CL- (7.2-15)
Более того, подпространства удовлетворяют тому естественному условию, что если Дх) є Vj, то Д 2х) є Vj+ \ . То обстоятельство, что масштабирующая функция Хаара удовлетворяет рассматриваемому условию, не следует воспринимать как признак того, что любая функция
25 Напомним, что носителем функции/называется замыкание множества тех точек, гдеJ(x) Ф 0. Если носитель/— ограниченное множество, то функция/называется финитной. — Прим. перев.
7.2. Кратномасштабное разложение 541
К0 с V\ с: V2
Рис. 7.10. Вложенные функциональные пространства, порождаемые масштабирующей функцией.
с размером носителя, не превосходящим единицы, также автоматически удовлетворяет этому условию. В качестве упражнения мы предлагаем читателю убедиться в том, что похожая на функцию Хаара простая функция вида
не является корректной масштабирующей функцией кратномасштабного анализа (см. Задачу 7.11).
КМЛ Условие 3. Единственной функцией, принадлежащей одновременно всем подпространствам Vj, является функция f(x) = 0.
Если мы рассмотрим самую грубую из систем функций разложения (т.е. при j = —°°), то единственной представимой функцией будет функция, не содержащая никакой информации. Итак,
КМА Условие 4. Любая функция может быть представлена с произвольной точностью.
Хотя разложение (подобное тому, которое имело место для функции на Рис. 7.9 (д)) для некоторой конкретной функции fix) при любом заданном масштабе j может оказаться невозможным, все измеримые квадратично-интегрируемые функции оказываются представимы в пределе] —» +°о. Таким образом26,
К_={0}.
(7.2-16)
26 Обычно условие 3 записывают в виде П vj = )0),аусловие4— ввиде (J Vj = /2(М). — Прим. перев.
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 349 >> Следующая
Книги
Web-программирован-
ие
Аппаратное обеспечение Графика Руководство по П.О. Самоучитель Теория программирования Фотошоп Языки программирования
Новые книги
Вирт Н. "Систематическое программирование " (Теория программирования)

Эком "Microsoft Excel 2000 шаг за шагом Русская версия самоучитель " (Самоучитель)

Поляков А.Ю. "Методы и алгоритмы компьютерной графики в примерах Vizual C++" (Графика)

Баяковский Ю.М. "Графическая библиотека Open GL " (Графика)

Валиков А. "Технология " (Языки программирования)
Авторские права © 2013 ComputersBooks. Все права защищены.